تفریقی مساوات
ڈفرینشیل مساوات اک ایہو جی مساوات ا جیہڑی کسے انجانی شے لئی سوچی جاندی اے۔
اصطلاح | term |
---|---|
تفرقی مساوات |
Differential equation |
تفرقی مساوات (انگریزی: Differential equation) اک ریاضیاتی نامعلوم فنکشن (function) دی مساوات جو اک یاں اک توں زیادہ متغیر (Variable) تے فنکشن دے مشتق (derivative) دے درمیان وچ تعلق دکھاندی اے۔ تفرقی مساوات ہندسیات (engineering) فزکس (physics) معاشیات (economics) تے بہت ساری جگہاں اُتے استعمال ہُندی اے۔
مثال دے طور اُتے اک ہويا وچ ڈگدی ہوئی گیند جس اُتے صرف کشش ثقل (gravity) تے ہويا دی مزاحمت ہو اس دی حقیقی زندگی دی اک مثال اے۔ گیند دا اسراع (acceleration) دراصل کشش ثقل دی وجہ توں اسراع تے ہويا دی مزاحمت دی وجہ توں سستی دا حاصل جمع اے۔ کشش ثقل اک دائم (constant) اے مگر ہويا دی مزاحمت گیند دی سمتار (velocity) دے متناسب (proportional) اے۔ گیند دی سمتار (velocity) دا فنکشن (function) جو وقت انحصار کردا ہو حاصل کرنے دے لئی سانوں تفرقی مساوات حل کرنا ہوئے گی۔
ریاضی وچ تفرقی مساوات مختلف نقطہ نظر توں پڑھی جاندیاں نيں، زیادہ تر اسيں اک یاں اک توں زیادہ فنکشن (function) تلاش کردے نيں کہ جنہاں دا مشتق (derivative) تفرقی مساوات ہوئے۔ صرف سادہ تفرقی مساوات دا ہی واضح قاعدہ (explicit formula) ہُندا اے۔ اُتے تفرقی مساوات دی بہت ساری خصوصیات انہاں دا واضح قاعدہ حاصل کیتے بغیر وی معلوم دی جاسکدیاں نيں۔ جے کسی تفرقی مساوات دا واضح قاعدہ معلوم نہ ہو سکدا ہو تاں کمپیوٹر (computer) دی مدد توں اس دا عددی تقرب (numerical approximation) معلوم کیتا جاسکدا اے۔
تسمیہ
سودھوتفرقی مساوات دا نظریہ (theory) کافی ترقی کر چکيا اے تے ہن نوں اس دی قسم دے لحاظ توں پڑھا جاندا اے۔
عام تے جزوی تفرقی مساوات
سودھو- عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)
- ایہ اوہ تفرقی مساوات ہُندی اے جس وچ دالہ (function) وچ صرف اک آزاد متغیر (independent variable) ہُندا اے۔ اس لئی اس وچ عام مشتق (derivative) لیا جاندا اے۔
عمومی طور اُتے اسيں اسنوں اس طرح لکھ سکدے نيں۔
- جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)
- اس تفرقی مساوات وچ دالہ (function) وچ اک توں زیادہ آزاد متغیر (independent variable) ہُندا اے اس لئی اس وچ جزوی مشتق (partial derivative) لیا جاندا اے۔
عمومی طور اُتے اسيں اسنوں اس طرح لکھ سکدے نيں۔
لکیری تے غیر لکیری تفرقی مساوات
سودھو- لکیری تفرقی مساوات (linear differential equation)
- اس تفرقی مساوات وچ نامعلوم دالہ (function) تے اس دے مشتق (derivative) دی وقت اک ہُندی اے۔
- غیر لکیری تفرقی مساوات (nonlinear differential equation)
- اس تفرقی مساوات وچ نامعلوم دالہ (function) تے اس دے مشتق (derivative) دی وقت اک توں زیادہ ہُندی اے۔ ایہ تفرقی مساوات کسی بہت ہی مشکل حقیقی زندگی دے مسئلے دی مثیل (model) ہُندی اے تے اسنوں حل کرنا بہت مشکل ہُندا اے۔
تفرقی مساوات دا حل
سودھوتفرقی مساوات نوں دو مختلف طریقےآں توں حل کیتا جاندا اے۔ پہلا تجزیاتی طریقہ (analytical method) اے۔ اس وچ اسيں ایسا فنکشن (function) معلوم کرنے دی کوشش کردے نيں جو اس مساوات نوں حل کر سکے۔ مگر اکثر تجزیاتی طریقے توں تفرقی مساوات نوں حل کرنا مشکل یا ناممکن ہُندا اے۔ ایسی صورت وچ تفرقی مساوات نوں عددی طریقہ (numerical method) توں حل کردے نيں تے مطلوبہ فنکشن (function) دی خصوصیات پتہ کرنے دی کوشش کردے نيں۔
تجزیاتی طریقہ
سودھوتفرقی مساوات نوں حل کرنے دا مطلب اے کہ اک ایسا فنکشن (function) معلوم کرنا جس دا جے مشتق (derivative) تفرقی مساوات وچ دتے گئے طریقے توں کیتا جائے تاں اوہ اک درست مساوات ہوئے۔ مثال دے طور اُتے جے اسيں ایہ کدرے کہ اوہ کون سا فنکشن (function) اے جس دا مشتق (derivative) اسی دے برابر اے۔ اسنوں جے اسيں تفرقی مساوات دی صورت وچ لکھنا چاہن تاں اس طرح لکھياں گے۔
یہ شاید سب توں آسان تفرقی مساوات اے۔ بظاہر اس دا حل بہت آسان اے تے زبانی وی کڈیا جا سکدا اے۔ اسيں جاندے نيں کہ اک ایسا فنکشن(function) اے جس دا مشتق (derivative) اوہ خود ہُندا اے۔
اس دا مطلب اے کہ مندرجہ بالا تفرقی مساوات دا حل ایہ فنکشن (function) اے۔
ایتھے ایہ گل اہم اے کہ اسيں دائم (constant) نوں نظر انداز کر رہے نيں۔ جے اسيں دائم نوں وی شامل کرن تاں اک تفرقی مساوات دے لامتناہی حل ہو سکدے نيں تے کوئی خاص حل جاننے دے لئی سانوں ہور معلومات چاہیے ہُندیاں نيں۔ ایتھے ایہ گل قابل ذکر اے کہ اسی دالہ (exponential function) دی ایہ زیادہ بہتر تعادیف اے کہ ایہ فنکشن (function) مندرجہ ذیل تفرقی مساوات دا حل اے
جدوں کہ ہوئے۔
اسی طرح توں اسيں ایہ سوال وی کر سکدے نيں کہ اوہ کون سا فنکشن (function) اے جس دا دوسرا مشتق (second derivative) تے فنکشن دا حاصل جمع صفر دے برابر ہوئے۔ اسنوں اسيں اس طرح لکھياں گے۔
ایتھے مثال دے طور اُتے اس فنکشن نوں دیکھدے نيں۔
اس دا پہلا تے دوسرا مشتق (derivative) اے۔
اب جے اسيں دوسرے مشتق (derivative) نوں اصل فنکشن (function) وچ جمع کرن گے تاں جواب صرف آئے گا۔
اس تفرقی مساوات (differential equaation) دا حل ایہ فنکشن (function) اے۔
مگر اہم گل ایہ اے کہ اک ہور فنکشن (function) وی ایہی خصوصیات رکھدا اے۔
اس دا مطلب اے کہ تفرقی مساوات دے اک توں زیادہ حل ہو سکدے نيں۔
عددی طریقہ
سودھواکثر تفرقی مساوات نوں تجزیاتی طریقے توں حل کرنا مشکل یا ناممکن ہُندا اے۔ ایسی مساوات نوں اسيں نظریۂ عدد (numerical analysis) دی مدد توں حل کردے نيں۔ اس طرح توں تفرقی مساوات نوں حل کرنے دے بہت سارے طریقے نيں مگر سب توں آسان طریقہ اویلر دا طریقہ اے۔ اس طریقے توں عام تفرقی مساوات دا قریبی حل کڈیا جا سکدا اے۔ مشہور سوئس ریاضی دان لیونہارڈ اویلر نے ایہ طریقہ دریافت کیتا۔ اس طریقے وچ اسيں تفرقی مساوات نوں ابتدائی قدر (initial value) دی مدد توں حل کردے نيں۔
اس دا بنیادی خیال ایہ اے کہ اسيں اک نامعلوم منحنی (curve) نوں لبھ رہے نيں جس دا سانوں صرف ابتدائی نقطہ معلوم اے۔ اوتھے توں اسيں اس دے مماسی خط (tangent line) اُتے اک چھوٹا جہا قدم لیندے نيں تے نويں مقام اُتے پہنچ جاندے نيں۔ ایتھے ایہ خیال رہے کہ ساڈا قدم اِنّا چھوٹا ہونا چاہیے کہ منحنی (curve) تے خط دی ڈھلوان (slope) تقریباً اک جداں ہوئے۔ اسيں اس عمل نوں بار بار دہراندے رہندے نيں تے نويں نويں نقاط حاصل کردے رہندے نيں۔ جے ساڈا قدم بہت چھوٹا ہو تاں ایہ نقاط منحنی (curve) دے بہت قریت ہون گے تے اس دے مدد توں اسيں منحنی (curve) حاصل کر لین گے۔
فرض کرن کہ ساڈی تفرقی مساوات تے ابتدائی قدر مندرجہ ذیل اے۔
جے ساڈے قدم دی قدر h ہو تاں اویل دے طریقے توں ساڈا اگلا قدم ہوئے گا۔ تے منحنی دا اگلا نقطہ اسيں اس طریقے توں کڈ سکدے نيں۔
ہور ویکھو
سودھو- عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)
- جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)
- تاخیری تفرقی مساوات (delay differential equation)
- عشوائی تفرقی مساوات (stochastic differential equation)
- الجبرائی تفرقی مساوات (differential algebraic equation)
باہرلے جوڑ
سودھو- تفرقی مساوات دا استعمال
- تفرقی مساوات دے درست حل۔
- میٹ لیب دے مثیل۔ Archived 2008-12-19 at the وے بیک مشین
- تفرقی مساوات دی ابتدائی درسی کتاب۔
- خان اکادمی دی تفرقی مساوات دی ویڈیوز۔
وکیمیڈیا کامنز چ مورتاں: تفریقی مساوات |