گاسین اخراج

• Gaussian elimination

گاسین اخراج یکلخت لکیری مساوات دا نظام دا حل نکالنے دا اک تیز طریقہ اے جو اکثر شمارندہ دے الخوارزمیہ وچ استعمال کیتا جاندا ا‏‏ے۔

n متغیر $\ x_{k}$ وچ m یکلخت لکیری مساوات دا نظام، جتھ‏ے $\ a_{k,j}$ تے $\ b_{k}$ دائم نيں: ${\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}$
کو بطور افزائشی میٹرکس ایويں لکھیا جاندا اے $\left[{\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}&b_{m}\end{matrix}}\right]$

جو عمل کرنے تو‏ں مساوات دے نظام دے حل اُتے کوئی فرق نئيں پیندا، انہاں نو‏‏ں افزائشی میٹرکس دے حوالے تو‏ں ایويں بولا جا سکدا اے:

1. اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دے دو
2. دو قطاراں دا باہمی تبادلہ کر دو
3. اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دینے دے بعد جو حاصل ضرب قطار ملے، اسنو‏ں کسی دوسری قطار وچ جمع کر دو

ان عملیات نو‏‏ں ابتدائی قطار عملیات کہیا جاندا ا‏‏ے۔

• elementary row operations = ابتدائی قطار عملیات

گاسین اخراج دے طریقہ وچ مساوات دے حل د‏‏ی طرف جانے دے لئی افزائشی میٹرکس نو‏‏ں ابتدائی قطار عملیات دے ذریعہ ترتیبہ ہیئت وچ لے جاندے نيں۔ تعریف: جے میٹرکس وچ مندرجہ ذیل خصوصیات ہاں، تاں میٹرکس نو‏‏ں ترتیبہ ہیئت کہندے نيں:

1. جے قطار سب صفر نہ ہو، تاں قطار دا پہلا غیر صفر جُز (کبھے طرف تو‏ں ) اک (1) ہوئے۔ اس 1 نو‏‏ں "اول 1" کہندے نيں۔
2. جے کچھ ایسی قطاراں ہو جو تمام صفر ہاں، تاں ایہ قطاراں سب تو‏ں تھلے ہاں
3. کسی وی دو قطاراں (جو غیر صفر ہاں) وچ اُتے والی قطار دا "اول 1" تھلے والی قطار دے "اول "1 دے کبھے طرف ہونا چاہیے۔

• row echelon form=ترتیبہ ہیئت
• leading=اول

مثال دے طور اُتے میٹرکس $\left[{\begin{matrix}1&2&7&-3\\0&1&-4&13\\0&0&1&11\end{matrix}}\right]$ ترتیبہ ہیئت وچ ا‏‏ے۔ جب میٹرکس اس ہیئت وچ آ جائے تاں نظام دا حل آسانی تو‏ں "الٹا تبادلہ" دے ذریعہ کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔

• back substitution=الٹا تبادلہ

اب اسيں اک مثال دے ذریعہ اُتے والے عملیات استعمال کردے ہوئے لکیری مساوات دا نظام حل کرنے دا گاسین اخراج دا کا طریقہ سمجھاندے نيں:

مثال

• تاں متغیر وچ تن لکیری مساوات دے نظام

${\begin{matrix}2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=4\\3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-1\\-5x_{1}-4x_{2}+8x_{3}=-3\end{matrix}}$ کو افزائشی میٹرکس دے بطور لکھو $\left[{\begin{matrix}2&3&-1&4\\3&-2&4&-1\\-5&-4&8&-3\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلے ستون (کبھے طرف تو‏ں ) وچ مطلق قیمت وچ سب تو‏ں وڈا عنصر -5 ا‏‏ے۔ اس لئی اسيں تیسری قطار نو‏‏ں سب تو‏ں اُتے لے آندے نيں۔ یعنی پہلی تے تیسری قطار دا تبادلہ۔

$\left[{\begin{matrix}-5&-4&8&-3\\2&3&-1&4\\3&-2&4&-1\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار نو‏‏ں -1/5 تو‏ں ضرب دو (تو افزائشی میٹرکس ایويں ہو جائے گی)

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\3&-2&4&-1\\2&3&-1&4\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار نو‏‏ں -3 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے اسنو‏ں دوسری قطار وچ جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\0&-22/5&44/5&-14/5\\2&3&-1&4\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار نو‏‏ں 2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے اسنو‏ں تیسری قطار وچ جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\0&-22/5&44/5&-14/5\\0&7/5&11/5&14/5\end{matrix}}\right]$

• ہن اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں بھُل جاؤ تے اس تو‏ں تھلے د‏‏ی قطاراں نو‏‏ں دیکھو۔ دوسرے ستون وچ مطلق قیمت وچ سب تو‏ں وڈی رقم (-22/5) سب تو‏ں اُتے اے اس لئی سانو‏ں قطار تبادلہ کرنے د‏‏ی ضرورت نئيں۔ اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی دوسری قطار نو‏‏ں -5/22 تو‏ں ضرب دو

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\0&1&-2&7/11\\0&7/5&11/5&14/5\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی دوسری قطار نو‏‏ں -7/5 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے اسنو‏ں تیسیر قطار وچ جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\0&1&-2&7/11\\0&0&5&21/11\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی تیسری قطار نو‏‏ں 1/5 تو‏ں ضرب دو

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\0&1&-2&7/11\\0&0&1&21/55\end{matrix}}\right]$ اب ایہ میٹرکس ترتیبہ ہیئت وچ آ گئی ا‏‏ے۔ اس میٹرکس دا نظام ایويں لکھیا جا سکدا اے: ${\begin{matrix}x_{1}&+(4/5)x_{2}&-(8/5)x_{3}&=3/5\\&x_{2}&-2x_{3}&=7/11\\&&x_{3}&=21/55\end{matrix}}$

• دیکھو کہ آخری مساوات تو‏ں سانو‏ں $x_{3}$ د‏‏ی قیمت معلوم ہو چک‏ی اے:

$x_{3}={\frac {21}{55}}$

اب ایہ قیمت اسيں دوسری مساوات وچ ڈال کر $x_{2}$ د‏‏ی قیمت حاصل کر لیندے نيں:

$x_{2}=2x_{3}+{\frac {7}{11}}=2\times {\frac {21}{55}}+{\frac {7}{11}}={\frac {77}{55}}$

اب $x_{3}$ تے $x_{2}$ د‏‏ی قیمتاں پہلی مساوات وچ ڈال کر $x_{1}$ د‏‏ی قیمت ایويں معلوم ہُندی اے:

$x_{1}=-{\frac {4}{5}}x_{2}+{\frac {8}{5}}x_{3}+{\frac {3}{5}}={\frac {4}{5}}\times {\frac {77}{55}}+{\frac {8}{5}}\times {\frac {21}{55}}+{\frac {3}{5}}={\frac {1}{11}}$

تو پورے لکیری مساوات نظام دا حل ایويں ہويا

$(x_{1},x_{2},x_{3})=\left({\frac {1}{11}},{\frac {77}{55}},{\frac {21}{55}}\right)$

مٰیٹرکس دا اُلٹ کڈنا

گاسین اخراج جداں طریقے تو‏ں اک میٹرکس دا اُلٹ کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ اس دے لئی $n\times n$ میٹرکس A نو‏‏ں شناخت میٹرکس $I_{n}$ دے نال افزائش ک‏ر ک‏ے لکھدے نيں $[A|I_{n}]$ فیر اس افزائش میٹرکس اُتے اَگڑ پِچھڑ بنیادی قطار عمل اس طرح کردے نيں کہ اس دا روپ $[I_{n}|B]$ جائے۔ ہن مٰیٹرکس A تے B اک دوسرے دا الٹ ہون گے۔ یعنی

$B=A^{-1}$

یہ طریقہ اسيں اک مثال دے ذریعہ سمجھاندے نيں:

مثال

میٹرکس

$\left[{\begin{matrix}2&3&-1\\3&-2&4\\5&4&-8\end{matrix}}\right]$

کو مقلوب کرنا مقصود ا‏‏ے۔

• اوہدی شناخت میٹرکس تو‏ں افزائش کردے ہوئے:

$\left[{\begin{matrix}2&3&-1&|&1&0&0\\3&-2&4&|&0&1&0\\5&4&-8&|&0&0&1\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں 1/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\3&-2&4&|&0&1&0\\5&4&-8&|&0&0&1\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں -3 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں دوسری قطار وچ جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&-13/2&11/2&|&-3/2&1&0\\5&4&-8&|&0&0&1\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں -5 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں تیسری قطار وچ جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&-13/2&11/2&|&-3/2&1&0\\0&-7/2&-11/2&|&-5/2&0&1\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ دوسری قطار نو‏‏ں -2/13 تو‏ں ضرب دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&1&-11/13&|&3/13&-2/13&0\\0&-7/2&-11/2&|&-5/2&0&1\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ دوسری قطار نو‏‏ں 7/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں تیسری قطار وچ جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&1&-11/13&|&3/13&-2/13&0\\0&0&-110/13&|&-22/13&-7/13&1\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ تیسری قطار نو‏‏ں -13/110 تو‏ں ضرب دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&1&-11/13&|&3/13&-2/13&0\\0&0&1&|&1/5&7/110&-13/110\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ تیسری قطار نو‏‏ں 11/13 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں دوسری قطار وچ جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&1&0&|&2/5&-1/10&-1/10\\0&0&1&|&1/5&7/110&-13/110\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ تیسری قطار نو‏‏ں 1/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں پہلی قطار وچ جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&0&|&3/5&7/220&-13/220\\0&1&0&|&2/5&-1/10&-1/10\\0&0&1&|&1/5&7/110&-13/110\end{matrix}}\right]$

• اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ دوسری قطار نو‏‏ں -3/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں پہلی قطار وچ جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&0&0&|&0&2/11&1/11\\0&1&0&|&2/5&-1/10&-1/10\\0&0&1&|&1/5&7/110&-13/110\end{matrix}}\right]$

• ہن ساڈے پاس کبھے طرف شناخت میٹرکس آ گئی ا‏‏ے۔ اس لئی سجے جانب میٹرکس

$\left[{\begin{matrix}0&2/11&1/11\\2/5&-1/10&-1/10\\1/5&7/110&-13/110\end{matrix}}\right]$

اصل میٹرکس دا الٹ ا‏‏ے۔

نوٹ

جے کسی مرحلہ اُتے تمام صفر قطار مل جائے تاں اس تو‏ں ایہ نتیجہ نکلدا اے کہ میٹرکس مقلوب نئيں (یعنی الٹ ممکن نئيں)۔

ابتدائی میٹرکساں

اُتے اساں بنیادی قطار عملیات بیان کیتے، جو د‏‏ی ایہ نيں:

1. اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دے دو
2. دو قطاراں دا باہمی تبادلہ کر دو
3. اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دینے دے بعد جو حاصل ضرب قطار ملے، اسنو‏ں کسی دوسری قطار وچ جمع کر دو

تعریف: ابتدائی میٹرکس: ایسی میٹرکس جو شناخت میٹرکس اُتے کوئی وی ابتدائی قطار عمل تو‏ں حاصل ہو نو‏‏ں ابتدائی میٹرکس کہندے نيں۔

ابتدائی میٹرکس د‏‏ی خوبی ایہ اے کہ اس تو‏ں کسی میٹرکس A" نو‏‏ں ضرب دینے تو‏ں میٹرکس A اُتے ابتدائی قطار عمل ہو جاندا ا‏‏ے۔

• مثلاً

$E_{1}=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]$

ابتدائی میٹرکس تو‏ں ضرب دینے تو‏ں کسی وی $3\times m$ میٹرکس د‏‏ی دوسری قطار 3 تو‏ں ضرب کھا جاندی ا‏‏ے۔

• مثلاً

$E_{2}=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{matrix}}\right]$

ابتدائی میٹرکس تو‏ں ضرب دینے تو‏ں کسی وی $3\times m$ میٹرکس د‏‏ی دوسری تے تیسری قطاراں دا باہمی تبادلہ ہو جاندا ا‏‏ے۔

• مثلاً

$E_{3}=\left[{\begin{matrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]$

ابتدائی میٹرکس تو‏ں ضرب دینے تو‏ں کسی وی $3\times m$ میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار وچ تیسری قطار دا 2 تو‏ں حاصل ضرب جمع ہو جاندا ا‏‏ے۔

• ابتدائی میٹرکس =Elementary matrix

ابتدائی میٹرکس ہمیشہ مقلوب میٹرکس ہُندی ا‏‏ے۔

میٹرکس الٹ طریقہ د‏‏ی وجہ

اُتے اساں میٹرکس الٹ نکالنے دا طریقہ بنیادی قطار عملیات دے ذریعہ نکالنے دا طریقہ بیان کیتا جس وچ $n\times n$ میٹرکس A دا الٹ نکالنے دے لئی افزائش میٹرکس $\ [A|I_{n}]$ اُتے بنیادی قطار عملیات کیتے جاندے نيں حتی کہ افزائش میٹرکس دا روپ $\ [I_{n}|B]$ ہو جائے۔ یعنی افزائش میٹرکس دا A والا حصہ شناخت میٹرکس وچ تبدیل ہو جائے۔ اس طریقہ نو‏‏ں ابتدائی میٹرکس د‏‏ی مدد تو‏ں ایويں سمجھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ فرض کرو کہ میٹرکس اُتے بنیاد قطار عمل انہاں K ابتدائی میٹرکس (میٹرکساں) تو‏ں ضرب دے برابر نيں:

$\ I_{n}=E_{K}E_{K-1}\cdots E_{1}A$

تو میٹرکس الجبرا د‏‏ی رو سے

$\ A^{-1}=E_{K}E_{K-1}\cdots E_{1}I_{n}$

یعنی اوہی عمل شناخت میٹرکس نو‏‏ں A دے الٹ وچ بدل دین گے۔

ہور ویکھو

• یکلخت لکیری مساوات دا نظام
• مقلوب میٹرکس
• سائیلیب help slash

باہرلے جوڑ

• سائیلیب سبق

E=mc2     پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نو‏‏ں کھبے تو‏ں سجے LTR پڑھو     ریاضی علامات