منکووسکی سپیس

گنتک فزکس وچ, منکووسکی سپیس جاں منکووسکی سپیسٹائیم, اقلیدسی سپیس اتے ٹائم دا اک 4-سمتی مینیپھولڈ (بہپرت) وچ میل اے جتھے کسے وی دو واقعے درمیان سپیسٹائیم وقفہ (انٹرول) اوس انرشیئل فریم (ڈھانچے) توں آزاد رہندا اے جس وچ اس نوں ریکارڈ کیتا جاندا اے۔ بے شکّ شروعات وچ منکووسکی سپیسٹائیم دی گنتک بنتر, الیکٹرومیگنٹزم دیاں میکسویل مساواتاں لئی ریاضی دان حرمن منکووسکی ولوں ترقی یافتہ کیتی گئی سی, پھیر وی اس نوں سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) دے سدھ نشان دے ترنت نتیجے دے روپ وچ دکھایا گیا سی۔

منکووسکی سپیس آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) دی تھیوری نال نزدیک طور تے جڑی اے, اتے ایہہ اوہ سبھ توں زیادہ سانجھی گنتک بنتر اے جس اتے سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) دے فارمولیاں دا سوتریکرن کرن کیتا گیا اے۔ جدونکھ اقلیدسی سپیس اتے ٹائم دے انفرادی کمپونینٹ لمبائی سنگڑن عمل (لینتھ کنٹریکشن) اتے ٹائم وچ دیری (ٹائم ڈلیشن) کارن اکثر فرق رکھنگے, منکووسکی سپیس وچ, ساریاں ریفرنس فریماں واقعے درمیان سپیسٹائیم وچ کل دوری اتے سہمت ہندیاں ہن ۔ کیونکہ ایہہ وقت نوں تن مقامی سمتاں نالوں وکھرے طریقے نال لیندی اے, اسلئی منکووسکی سپیس چار-سمتی اقلیدسی سپیس توں وکھری ہندی اے۔

آئیسومیٹری گروپ, جو کہ نیمت اندرونی گننپھل نال بھرپور اک اقلیدسی سپیس دے اقلیدسی ڈسٹینساں (وتھاں) نوں سرکھات کردا اے, اقلیدسی گروپ کیہا جاندا اے۔ منکووسکی سپیس لئی برابر دا آئسیمیٹری گروپ جو غیر-پوزیٹو مقررہ دو-ریکھک (بائلینیئر) اکار (اتھے اسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا اے) سمیت سپیسٹائیم دے وقفےآں نوں سرکھئت کردا اے, پوآئنکیئر گروپ کیہا جاندا اے۔ منکووسکی اندرونی گننپھل (انر پروڈکٹ) دو واقعے درمیان سپیسٹائیم وقفہ پیدا کرن دے روپ وچ متاثر کیتا جاندا اے جدوں اوہناں واقعے دے نردیشانک انتر ویکٹر ترک دے طور تے دتے گئے ہون ۔

اتہاس

حرمن منکووسکی (1864–1909) اک جرمن گنت شعورت سی۔ اسنے کھوجیا کہ سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) دی تھیوری جو اسدے طالب علم البرٹ آئینسٹائین ولوں پیش کیتی سی, نوں چار-سمتی سپیس وچ سبھ توں ودھیا طریقے نال سمجھیا جا سکدا اے, جس نوں ادوں توں منکووسکی سپیس دے روپ وچ جانیا جان لگ پیا

چار-سمتی اقلیدسی سپیسٹائیم

1905 وچ, 1906 والی پبلیکیشن دے نال, ہینری پوآئنکیئر نے دکھایا کہ ٹائم نوں اک خیالی چوتھے سپیسٹائیم نردیشانک (√−1 c t) دے طور تے لے کے, اک لورنٹز ٹرانسپھورمیشن (پرورتن) نوں, تن اصلی نردیشانکاں راہیں پیش کیتی جا رہی سپیس اتے چوتھے سمت دے طور تے ٹائم نوں پیش کر رہا اک خیالی نردیشانک, یکت اک چار-سمتی اقلیدسی سپیس وچ نردیشانکاں دی اک روٹیشن (چکر) کیہا جا سکدا اے۔ کیونکہ پھیر سپیس اک سوڈو-اقلیدسی سپیس ہندی اے, اسلئی روٹیشن اک ہائیپربولک روٹیشن دی پرستتی ہندی اے, بے شکّ پوآئنکیئر نے ایہہ وضاحت نہیں دتی سی, اسدا مقصد جانی پچھانی اقلیدسی روٹیشن دے شبداں وچ صرف لورنٹز پرورتن نوں کھل کے سمجھاؤنا ہی سی۔

اس وچار دا حرمن منکووسکی ولوں پھلار کیتا گیا, جسنے چار سمتاں وچ لورنٹز پرورتن ماتحت اوہناں دے انویریئنس سدھے دکھاؤندے ہوئے میکسویلّ دیاں سمیکرناں نوں پنرکتھن کرن لئی اسدی ورتو کیتی ۔ اسنے ہور اگے آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) دی اس وقت دی تازہ تھیوری نوں چار سمتاں وچ پنر سوتربدھّ کیتا ۔ استوں اسنے ایہہ نتیجہ کڈھیا کہ ٹائم اتے سپیس نوں برابر ہی لینا چاہیدا اے, اتے اسطراں اسنے اک ایکیکرت چار-سمتی سپیسٹائیم نرنترتا وچ ہو رہیاں واقعے دے اپنے تجزیہ نوں اچا چکیا ۔

منکووسکی سپیس

ہور اگے کسے ترقی لئی, اسنے اس وچار دے بدلے ہوئے روپ دے فارمولا سوتریکرن دتے جہناں وچ اک خیالی دی جگہ اصلی وقت والے نردیشانک ورتے گئے سن جو اک چار-سمتی اپھائین (بروبرابر تعلق سرکھات رکھن دی آگیا دین والی) سپیس وچ چار سپیس تے ٹائم دے استھرانکاں (x, y, z, t) نوں پیش کردے سن۔ اس سپیس وچ نقطہ سپیسٹائیم وچ واقعے نال متعلق ہندے ہن ۔ اس سپیس وچ, ہریک نقطہ (اپر چتر دیکھو) نال اک مقررہ لائیٹ-کون جڑی ہندی اے, اتے لائیٹ-کون اتے نہ ہون والیاں واقعے نوں سپیسلائیک جاں ٹائیملائیک دے طور تے دھریاں نال اوہناں دے تعلقاں راہیں شرینیبدھّ کیتا جاندا اے۔ سپیسٹائیم دا مکھ طور تے ایہی نظریہ اجکل چل رہا اے, بھاویں خیالی وقت والے پرانے نظریہ نے وی سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) نوں متاثر کیتا اے۔ منکووسکی, جو اپنے ولوں بنائی گئی تھیوری دی مول پنربیانباجی بارے جاندا سی, نے کیہا,

سپیس اتے ٹائم دے نظریہ جو میں تہاڈے اگے رکھنا چاہندا ہاں پریوگک فزکس دی دھرتی توں ابھرے ہن, اسلئی ایہناں وچ طاقت اے۔ ایہہ قدرتی طور تے مڈھلے نظریہ ہن ۔ اسلئی سپیس اپنے آپ وچ, ٹائم اپنے آپ وچ, صرف پرچھاویاں وچ لپت ہون لئی دوشی پائے گئے ہن, اتے صرف ایہناں دوہاں دا میل ہی اک آزاد واستوکتا نوں سرکھئت کریگا ۔ ---حرمن منکووسکی, 1907

گنتک بنتر

اک معائنہ تجزیہ لئی, منکووسکی سپیس اک 4-ڈائمینشنل اصلی ویکٹر سپیس ہندی اے جس وچ سپیسٹائیم وچ ہریک نقطہ اتے سمرد سپیس اتے اک سہیسلامت (نونڈجنریٹ), سمروپ دو-ریکھک (سمٹرک بائلینیئر) اکار ہندا اے, اتھے جسنوں صرف (−,+,+,+) جاں (+,−,−,−) ہستاکھر والا منکووسکی اندرونی گننپھل کیہا گیا اے۔ مشق وچ, سمرد سپیساں نال واسطہ رکھن دی ضرورت نہیں پیندی ۔ منکووسکی سپیس دی ویکٹر سپیس فطرت, خود منکووسکی سپیس اندر ویکٹراں (نقطےآں, واقعے) والے نقطےآں (واقعے) اتے سمرد سپیساں وچ ویکٹراں دی کانونیکل پچھان کرن دی آگیا دندی اے۔ کجھ مقصداں لئی اک نقطہ p اتے ڈسپلیسمینٹ ویکٹر نال سمرد ویکٹراں دی پچھان کرن دی اچھا رہندی اے, جو کہ, بے شکّ, اسے کانونیکل پچھان راہیں قبول یوگ ہندا اے۔

سگنیچر اوس چنہ ول اشارہ کردا اے جو منکووسکی اندرونی گننپھل پیدا کردا اے جدوں ترک تے طور تے ادھار ویکٹراں دے روپ وچ سپیس اتے ٹائم دتے ہوئے ہون ۔ عامَ طور تے, گنت شعورت اتے جنرل رلیٹیوٹی وشیشک (−,+,+,+) سگنیچر نوں ترجیح دندے ہن جدونکھ بھوتک سائنسدان (+,−,−,−) سگنیچر نوں پسند کردے ہن ۔ پہلے طریقے دے سگنیچر (خالص سپیس ویکٹر پوزیٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترک غیر-ساپیکھک حد c → ∞ نال متعلق اقلیدسی کیس توں نرنترتا شامل کردے ہن ۔ بعد والے سگنیچر (خالص سپیس ویکٹر نیگٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترکاں وچ فزکس وچ ہور طریقیاں نال سرو-مکمل گھٹاؤ دے چناں دا مکّ جانا شامل اے۔

سپیسٹائیم وچ ہریک نقطہ اتے اس بائلینیئر (دو-ریکھک) اکار نال گنتک طور تے اک (0,2) قسم والا ٹینسر جڑیا ہندا اے, جسنوں منکووسکی میٹرک کہندے ہن ۔ منکووسکی میٹرک, بائلینیئر اکار, اتے منکووسکی انر پروڈکٹ اصل وچ اکو چیز ہندے ہن ۔ نردیشانکاں وچ, ایہہ 44 میٹرکس ہندا اے جو بائِلینیئر اکار نوں پیش کردا اے۔ اس گل نوں دھیان وچ رکھدے ہوئے اگے پڑنا سودھاجنک ہو سکدا اے۔

جنرل رلیٹیوٹی وچ, تلناتمک طور تے, اک لورنٹزیئن مینیپھولڈ L, میٹرک ٹینسر g یکت دی طرحاں ہندا اے, جو L دے ہریک نقطہ p اتے سمرد سپیس T_pL اتے اک صحیح سلامت سمروپ دو-ریکھک (نونڈجنریٹ سمٹرک بائلینیئر) اکار ہندا اے۔ نردیشانکاں وچ, اسنوں “سپیسٹائیم پوزیشن تے انحصار کردے ہوئے” اک 44 میٹرکس راہیں درسایا جا سکدا اے۔ منکووسکی سپیس اسطراں لورنٹز مینیپھولڈ دا اک تلناتمک طور تے آسان خاص کیس اے۔ اسدا میٹرک ٹینسر, جسنوں منکووسکی میٹرک کیہا جاندا اے, نردیشانکاں وچ M دے ہریک نقطہ اتے اوہی سمروپ میٹرکس ہندا اے, اتے اسدے ترکاں نوں خود سپیسٹائیم وچ ویکٹراں دے طور تے لیا جا سکدا اے۔

ہور ووکیبولری نال جان پچھان کرواؤندے ہوئے (پر ہور بنتر نال نہیں), منکووسکی سپیس اسطراں اک سوڈو-اقلیدسی سپیس ہندی اے جسدیاں کل ڈائمینشناں n=4 ہندیاں ہن اتے سگنیچر (3, 1) جاں (1, 3) ہندے ہن ۔ منکووسکی سپیس دے تتاں (ایلیمینٹاں) نوں اوینٹس (واقعے) کیہا جاندا اے۔ منکووسکی سپیس نوں چنے ہوئے سگنیچر تے زور دندے ہوئے اکثر R^3,1 جاں R^1,3 لکھیا جاندا اے, جاں صرف M لکھیا جاندا اے۔ ایہہ شاید سوڈو-ریمانیئن مینیپھولڈ دی آسان ترین اداہرن اے۔

سوڈو-اقلیدسی میٹرک سرو عام نیم

منکووسکی میٹرک η منکووسکی سپیس دا میٹرک ٹینسر اے۔ ایہہ اک سوڈو-اقلیدسی میٹرک اے۔ اسطراں ایہہ اک نینڈیجنریٹ سمروپ دو-ریکھک اکار ہندا اے, اتے اک (0,2) قسم دا ٹینسر ہندا اے۔ ایہہ دو ترک قبول کردا اے؛ u_p, v_p جو T_pM, p ∈ M وچ ویکٹر ہن, اتے M وچ نقطہ p اتے سمرد سپیس اے۔ خود M نال T_pM دی اپر دسی کانونیکل پچھان کارن, ایہہ M وچ دواے u, v ترکاں نوں قبول کردا اے۔

سنکلپک پرمپرا دے طور تے, M وچ ویکٹراں v نوں 4-ویکٹر کیہا جاندا اے, جو بغیر نوکاں والے سنس سیرپھ اٹالک اکھراں وچ لکھے جاندے ہن, نہ کہ اقلیدسی سیٹنگ مطابق بولڈپھیس v دی طرحاں ۔ بعد والا چنہ عامَ طور تے اک 4-ویکٹر دے 3-ویکٹر حصے لئی راکھواں رکھیا جاندا اے۔

تشریح

$u\cdot v=\eta (u,v)$

M اتے اندرونی گننپھل وانگ بنتر پیدا کردی اے, جسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا اے جو اقلیدسی انر پروڈکٹ وانگ اے, پر ایہہ وکھرے جیؤمیٹری نوں درساؤندا اے۔ اسدیاں ایہہ خاصیتاں ہن,

• $\eta (au+v,w)=a\eta (u,w)+\eta (v,w),\quad \forall u,v\in M,\forall a\in \mathbb {R} \qquad {\text{(linearity in first slot)}}$
• $\eta (u,v)=\eta (v,u)\qquad {\text{(symmetry)}}$
• $\eta (u,v)=0\quad \forall v\in M\leftarrow u=0\qquad {\text{(non-degeneracy)}}$

پہلیاں دو شرطاں بائلینیئرٹی (دو-ریکھکتا) درساؤندیاں ہن ۔ اک متھّ-اندرونی گننپھل اتے اک اندرونی گننپھل درمیان متاثر کیتا جا رہا انتر ایہہ اے کہ پہلا گننپھل مقررہ طور تے پوزیٹو ہونا ضروری نہیں اے, یانِ کہ η(u, u) < 0 (زیرو توں گھٹ) ہون دی آگیا ہندی اے۔

دو ویکٹراں v اتے w نوں اؤرتھوگنل (orthogonal) کیہا جاندا اے جیکر η(v, w) = 0 ہووے ۔

اک ویکٹر e اک یونٹ ویکٹر کیہا جاندا اے جیکر η(e, e) = 1 ہووے ۔ پرسپر اؤرتھوگنل (سمکون) یونٹ ویکٹراں نال بنے M لئی اک بیسس (ادھار) نوں اؤرتھونورمل بیسس کیہا جاندا اے۔

کسے دتی ہوئی انرشیئل فریم لئی, سپیس وچ اک اؤرتھونورمل بیسس نال یونٹ ٹائم ویکٹر ملا کے منکووسکی سپیس وچ اک اؤرتھونورمل بیسس بندا اے۔ اجیاے کسے وی بیسس وچ پوزیٹو تے نیگیٹو یونٹ ویکٹراں دی آبادی اک پھکس کیتا ہویا نمبراں دا جوڑا ہندا اے, جو اندرونی گننپھل نال جڑے بائلینیئر اکار دے سگنیچر برابر ہندا اے۔ ایہہ سلویٹر دا انرشیا نیم کیہا جاندا اے۔ ہور ووکیبولری (پر بنتر نہیں): منکووسکی میٹرک خاص طور تے اک سوڈو-ریمانیئن میٹرک ہندا اے, استوں وی ہور خاص طور تے کہندے ہوئے, ایہہ لورنٹز میٹرک ہندا اے, جو صرف سگنیچر پرمپرا دی اسپشٹتا نال 4-سمتی فلیٹ سپیسٹائیم لئی راکھواں ہندا اے۔

منکووسکی میٹرک

سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) دے دو سوے-سدھ پرماناں توں پتہ چلدا اے کہ دو واقعے 1,2 درمیان سپیسٹائیم انٹرول (وقفہ)

$\pm \left[c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2})^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}\right],$

چنی گئی انرشیئل فریم توں آزاد ہندا اے۔ فیکٹر دا آسان مطلب ایہہ اے کہ سگنیچر دی چون کھلی چھڈّ دتی گئی اے۔ η دا سنکھئک ملّ, منکووسکی اندرونی گننپھل نوں پیش کر راے اک میٹرکس دے طور تے دیکھدے ہوئے, بائِلینیئر اکار دی تھیوری توں پتہ چلدا اے۔

کیونکہ ساہت (لٹریچر) وچ میٹرک دے سگنیچر وکھرے وکھرے متاثر کیتے گئے ہن, ایہہ مقدار استحکام نال نامبدھّ نہیں کیتی جاندی ۔ وقفہ (جویں اتھے متاثر کیتا گیا اے) کدے کدے انٹرول سکئیرڈ ول اشارہ کردا اے۔ بھاویں موجودہ انٹرول دا مربع مول (سکئیئر روٹ) ملدا اے۔ جدوں سگنیچر اتے انٹرول پھکس کر لئے جاندے ہن, اسپشٹتا اجے وی بنی رہندی اے کہ وقت دا نردیشانک کہڑا اے۔ ایہہ چوتھا ہو سکدا اے, ایہہ پہلا (زیرو والا) ہو سکدا اے۔ ایہہ تجزیہ استھرتاواں دی کوئی پھلار پوروک لسٹ نہیں اے۔ ایہہ زندگی دی اک سچائی اے کہ جدوں رلیٹیوٹی لٹریچر دی صلاحَ لین لگے پربولیاں نوں جانچ لینا پہلی چیز ہندی اے۔

انرشیئل فریماں درمیان کو-آرڈینیٹ ٹرانسفورمیشناں (نردیشانک پرورتناں) ماتحت انٹرول (وقفہ) دی انویریئنس (استحکام) اس ہیٹھاں لکھی مقدار (کسے وی چنہ لئی رکھواں) دے انویریئنس توں پتہ چلدی اے, بشرطے پرورتن لینیئر (ریکھک) ہووے ؛

$\pm \left[c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right]$

اس کواڈریٹک اکار (ورگاکار) نوں پولرائیزیشن آئڈینٹٹی (دھروی-پہچان) راہیں ہیٹھاں لکھیا بائلینیئر اکار متاثر کرن لئی ورتیا جا سکدا اے؛

$u\cdot v=\pm \left[c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}\right].$

اس بائلینیئر اکار نوں بدلے وچ اس طرحاں لکھیا جا سکدا اے؛

$u\cdot v=u^{\mathrm {T} }[\eta ]v,$

جتھے [η] اک 44 میٹرکس ہندا اے جو η نال جڑیا ہندا اے۔ ممکن طور تے غلط فہمی بھرے انداز وچ, [η] نوں صرف η نال لکھ دینا رواج جیہا ہو گیا اے۔ میٹرکس واضع بائلینیئر اکار توں اس طرحاں پڑیا جاندا اے؛

$\eta =\pm {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},$

اتے بائلینیئر اکار نوں اسطراں پڑیا جاندا اے جس دے نال ایہہ سیکشن اسدی موجودگی نوں مندے ہوئے شروع کیتا گیا سی۔, جو ہن پچھانیا گیا اے؛

$u\cdot v=\eta (u,v),$

نشچتتا اتے مختصر پرستتی لئی, سگنیچر (−,+,+,+) نوں ہن اپنا لیا گیا اے۔ چون دا کوئی طبعیاتی مطلب نہیں اے۔ دوجی چون والے سگنیچر نال, سگنیچر دی اک چون والا بائلینیئر اکار سرکھات کردا سمٹری گروپ آئیسومرفک ہندا اے۔ اسدا مطلب اے کہ دوویں چوناں رلیٹیوٹی دے سوے-سدھ پرماناں نال رضا مندی مطابق ہی رہندیاں ہن ۔

سٹینڈرڈ بیسس

منکووسکی سپیس لئی اک سٹینڈرڈ بیسس چار پرسپر اؤرتھوگنل ویکٹراں { e₀, e₁, e₂, e₃ } دا اک اجیہا سیٹ ہندا اے کہ؛

$-\eta (e_{0},e_{0})=\eta (e_{1},e_{1})=\eta (e_{2},e_{2})=\eta (e_{3},e_{3})=1.$

ایہناں شرطاں نوں مختصر روپ وچ انجھ لکھیا جا سکدا اے؛

$\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$

سٹینڈرڈ بیسس دے ساپیکھک, کسے ویکٹر v دے کمپونینٹاں نوں (v⁰, v¹, v², v³) لکھیا جاندا اے جتھے v = v^μe_μ لکھن لئی آئینسٹائین دھارنا ورتی جاندی اے۔ کمپونینٹv⁰ نوں v دا ٹائیملائیک کمپونینٹ کیہا جاندا اے جدونکھ باقی تن کمپونینٹاں نوں سپیشیئل کمپونینٹ (مقامی حصے) کیہا جاندا اے۔ کسے 4-ویکٹر دے سپیشیئل کمپونینٹاں نوں اک 3-ویکٹر v = (v₁, v₂, v₃) دے طور تے پچھانیا جا سکدا اے۔

کمپونینٹاں دے شبداں وچ, دو ویکٹراں v اتے w درمیان منکووسکی انر پروڈکٹ نوں اسطراں حاصل کیتا جاندا اے؛

$\eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },$

اتے

$\eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.$

اتھے میٹریک ورتدے ہوئے اک سوچکانک نوں تھلے کیتا گیا اے۔ تکنیکی طور تے, اک نون-ڈیجنریٹ بائِلینیئر اکار, اک ویکٹر سپیس اتے اسدی دوہری (ڈیول) سپیس درمیان نقشہ مہئیا کرواؤندا اے, اس حوالہ وچ, میپ (نقشہ) M دیاں ٹینجینٹ (سمرد) سپیساں اتے کوٹینجینٹ سپیساں درمیان ہندا اے۔ M اندر کسے نقطہ اتے, ٹینجینٹ اتے کوٹینجینٹ سپیساں ڈیول ہندیاں ہن ۔ جویں اک ترک پھکس کرکے کسے ویکٹر سپیس اتے اک بھروسے یوگ اندرونی گننپھل نوں, ریسز ریپریزینٹیشن تھیورم راہیں, ویکٹر سپیس اتے کسے لینیئر پھنکشنل دے ایکشن دے طور تے لکھیا جا سکدا اے, اویں ہی منکووسکی سپیس دے منکووسکی اندرونی گننپھل لئی وی ایہی کجھ لاگوُ ہندا اے۔

اسطراں جیکر v^μ کسے ٹینجینٹ (سمرد) سپیس وچ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہون, تاں η_μνv^μ = v_ν سہسمرد (کوٹینجینٹ, اک لینیئر پھنکشنل) سپیس وچ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہونگے ۔ M دے اپنے آپ وچ ویکٹراں نال سمرد سپیساں دے ویکٹراں دی پچھان کارن ایہہ زیادہتر اگنور کر دتا جاندا اے, اتے تھلے پیراں وچ لکھے سوچکانکاں (لوئر انڈیسیز) والے ویکٹراں نوں کوویریئنٹ ویکٹر کیہا جاندا اے۔ بعد والی اس وضاحت وچ, کوویریئنٹ ویکٹراں نوں (لگبھگ ہمیشاں ہی الجھاؤ نال) منکووسکی سپیس دی ڈیول سپیس وچ ویکٹراں (لینیئر پھنکشنلاں) دے طور تے پچھانیا جاندا اے۔ اپر لکھے جان والے سوچکانکاں (اپر انڈیسیز) والے ویکٹر کونٹرویریئنٹ ویکٹر کاے جاندے ہن ۔ اسے انداز وچ, ٹینجینٹ توں کوٹینجینٹ سپیساں ول میپ دا الٹ, جو میٹرکس پرستتی وچ η دے انورس (1/ η) راہیں حاصل کیتا جاندا اے, کسے سوچکانک (انڈیکس) نوں اپر چکن نوں متاثر کرن لئی ورتیا جا سکدا اے۔ اس انورس (الٹ) دے کمپونینٹاں (حصیاں) نوں η^μν لکھیا جاندا اے۔ کسے ویکٹر سپیس اتے اسدی ڈیول سپیس درمیان ایہناں نقشیاں نوں سنگیتک برابری راہیں η^♭؛ (پھلیٹ-ایٹا) and η^♯؛(شارپ-ایٹا) لکھیا جا سکدا اے۔

کدے کدے انڈیکس جمناسٹکس (سوچکانک کشمکش) کہی جان والی وقت راہیں مصدقہ مضبوطی اتے فارمولا سوتریکرن اپنے آپ وچ یقینی بنا دندی اے کہ ویکٹراں نوں آلے دوآلے گھماؤنا اتے کونٹراویریئنٹ توں کوویریئنٹ ویکٹراں وچ اتے کوویریئنٹ توں کونٹراویریئنٹ ویکٹراں وچ بدلنا گنتک طور تے سارتھک اے۔ غلط پرگٹاو چنہ اپنے آپ وچ پھٹاپھٹ ظاہر ہون لئی مجبور ہو جاندے ہن ۔

لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں اتے سمٹری

لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں (پرورتن) لئی کو-آرڈینیٹ (نردیشانک) سسٹماں دی سٹینڈرڈ ب

پوآئنکیئر گروپ وقفہ نوں سرکھات رکھن والے سارے پرورتناں دا گروپ اے۔ وقفہ (انٹرول) نوں 4-سمتاں وچ ٹرانسلیشن گروپ راہیں سرکھات ہندا اسانی نال دیکھیا جا سکدا اے۔ ہور پرورتن اوہ ہندے ہن جو وقفہ نوں سرکھات رکھدے ہن اتے ارجن نوں پھکس رکھدے ہن ۔ منکووسکی میٹرک نال جڑے بائِلینیئر اکار دے دتے ہون تے, کلاسیکل گروپاں دی تھیوری (خاص کرکے تشریح) توں ڈھکویں گروپ دا پتہ چلدا اے۔ لنک کیتے آرٹیکل وچ, میٹرکس Φ دے نال η (اسدی میٹرکس پرستتی وچ) نوں پچھاننا چاہیدا اے۔

اس حوالہ وچ, ڈھکواں گروپ O(3,1) اے, جسنوں لورنٹز گروپ کیہا جاندا اے۔ اسدے ایلیمینٹاں نوں (ہوموجینیئس) لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں کیہا جاندا اے۔ ہور زیادہ بھوتکی موڑ نال ہور طریقے کھوجن لئی دیکھو لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں دیاں ڈیریویشناں ۔

آسان ترین لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں وچوں اک لورنٹز بوسٹ اے۔ اشارے وجوں, x-سمت وچ اک بوسٹ اسطراں حاصل کیتی جاندی اے؛

${\begin{bmatrix}U'_{0}\\U'_{1}\\U'_{2}\\U'_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{0}\\U_{1}\\U_{2}\\U_{3}\end{bmatrix}},$

جتھے

$\gamma ={1 \over {\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}$

نوں اک لورنٹز پھیکٹر کیہا جاندا اے, اتے

$\beta ={v \over c}\,.$ ہندا اے|

ہور لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں خالص روٹیشنل ہندیاں ہن, اتے اس کرکے O(3,1) دے سبگرپّ SO(3) دے ایلیمینٹ وی ۔ اک عام ہوموجینیئس لورنٹز ٹرانسپھورمیشن خالص بوسٹ اتے خالص روٹیشن دا گننپھل ہندی اے۔ اک انہوموجینیئس لورنٹز ٹرانسپھورمیشن سپیس اتے ٹائم وچ اک بدلاؤ راہیں ہوئی ہوموجینیئس ٹرانسپھورمیشن ہندی اے۔ خاص ٹرانسپھورمیشناں (پرورتن) اوہ ہندیاں ہن جو سپیس نردیشانکاں اتے ٹائم نردیشانکاں نوں ترتیب وار الٹا دندے ہن, جاں دوواں نوں (PT) ۔

منکووسکی سپیس وچ سارے دے سارے چارے ویکٹر لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں ماتحت اسے فارمولے مطابق بدل جاندے ہن ۔ منکووسکی ڈائگرام لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں نوں سمجھاؤندا اے۔

کارناتمک بنتر

چار وکھرے کیتے ہوئے سیٹاں وچ اک گھٹنا دے پرتِ منکووسکی سپیسٹائیم دی سبڈویزن ۔ لائیٹ کون, خالص مستقبل, خالص بھوتدور, اتے ہور ستھان ۔ ووکیبولری Sard, R. D. (1970). Relativistic Mechanics – Special Relativity and Classical Particle Dynamics. New York: W. A. Benjamin. ISBN 978-0-8053-8491-8.  توں لئی گئی اے۔

ویکٹراں v = (ct, x, y, z) = (ct, r) نوں c²t² – r² دے چنہ مطابق شرینیبدھّ کیتا جاندا اے۔ اک ویکٹر ٹائیملائیک ہندا اے جیکر c²t² > r² ہووے, سپیسلائیک ہندا اے جیکر c²t² < r², اتے نلّ جاں لائیٹلائیک ہندا اے جیکر c²t² = r² ہووے ۔ اسنوں η(v,v) دے چنہ دے شبداں وچ وی درسایا جا سکدا اے, پر سگنیچر اتے انحصار کردا اے۔ کسے وی ویکٹر دی گٹھ ساریاں ریفرنس فریماں وچ اوہی رہیگی, کیونکہ وقفہ ستھر رہندا اے۔ منکووسکی سپیس دی کسے گھٹنا اتے سارے نلّ ویکٹراں دا سیٹ اوس گھٹنا دی لائیٹکون رچدا اے۔ اک ٹائیملائیک ویکٹر v دتا ہون تے, اس نال جڑی ستھر ولوسٹی دی اک ورلڈلائین (دنیا ریکھا) ہندی اے, جسنوں منکووسکی ڈائگرام وچ اک سدھی ریکھا نال پیش کیتا گیا اے۔

اک وار وقت دی سمت چن لئی جان تے, ٹائیملائیک اتے نلّ ویکٹراں نوں ہور اگے کئی شرینیاں وچ وبھاجت کیتا (ونڈیا) جا سکدا اے۔ ٹائیملائیک ویکٹراں لئی ایہہ ہندا اے؛

• بھوکھ-سمت وچ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا اے (ویکٹر دا اگلا پاسہ تصویر وچ خالص مستقبل دی سمت وچ ہندا اے) اتے
• بھوتکال-سمت وچ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا اے (خالص بھوتدور)

نلّ ویکٹر تن شرینیاں وچ فٹ ہندے ہن؛

• زیرو ویکٹر, جسدے کمپونینٹ کسے وی بیسس وچ (0,0,0,0) (ارجن) ہندے ہن
• بھوکھ-سمت وچ نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا اے (اپرلی لائیٹکون), اتے
• بھوتکال-سمت نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا اے۔ (تھلے والی لائیٹکون) ۔

سپیسلائیک ویکٹر ہور کتے ہندے ہن ۔ ووکیبولری اس حقیقت توں اپجدی اے کہ سپیسلائیک وکھریاں ہوئیاں واقعے پرکاش توں تیز سفر دی منگ کرن والے ویکٹراں نال جڑیاں ہندیاں ہن, اتے اسلئی اک دوجی نوں متاثر نہیں کر سکدیاں ۔ سپیسلائیک اتے ٹائیملائیک دوویں اکٹھے ویکٹر کل 7 شرینیاں رکھدے ہن ۔

منکووسکی سپیس لئی اک اؤرتھونورمل بیسس لازمی طور تے اک ٹائیملائیک اتے تن سپیسلائیک یونٹ ویکٹراں نال بنیا ہندا اے۔ جیکر کوئی غیر-اؤرتھونورمل بیسساں نال کم کرنا چاہندا ہووے تاں ویکٹراں دے ہور میل رکھنے ممکن ہن ۔ اداہرن دے طور تے, اک نلّ بیسس کیہا جان والا سارے دے سارے نلّ ویکٹراں نال بنیا اک (نون-اؤرتھونورمل) بیسس اسانی نال رچیا جا سکدا اے۔ واستوکاں اپر, جیکر دو نلّ ویکٹر اؤرتھوگنل ہون (زیرو منکووسکی ٹینسر ملّ والے), تاں اوہ ضرور ہی انپاتک ہونے چاہیدے ہن ۔ پھیر وی, کمپلیکس نمبراں نوں آگیا دین تے, اک نلّ ٹیٹراڈ حاصل کیتا جا سکدا اے, جو نلّ ویکٹراں نال بنیا بیسس ہندا اے, جہناں وچوں کجھ ویکٹر آپس وچ اؤرتھوگنل ہندے ہن ۔

ویکٹر پھیلڈاں نوں ٹائیملائیک, سپیسلائیک جاں نلّ کیہا جاندا اے جیکر متعلق ہریک اوس نقطہ اتے ویکٹر ٹائیملائیک, سپیسلائیک جاں نلّ ہون جتھے فیلڈ نوں متاثر کیتا جاندا اے۔

کالکرم مطابق اتے کارنتامک تعلق

منّ لؤ x, y ∈ M ہون ۔ اسیں کہہ سکدے ہاں؛

1. x کالکرم مطابق (کرونوجیکلی) y توں اگے ہندا اے جیکر y – x بھوکھ-سمت والی ٹائیملائیک ہووے ۔ اس تعلق دی ٹرانزیٹو خاصیت ہندی اے اتے اسلئی اسنوں x < y لکھیا جا سکدا اے۔
2. x کارناتمک طور تے (کیزئلی) y توں اگے ہندا اے جیکر y – x مستقبل دی سمت ول نلّ جاں بھوکھ-سمت والی ٹائیملائیک ہووے ۔ ایہہ سپیسٹائیم دا انشک کرم (پارشل اؤرڈرنگ) دندا اے اتے اس لئی اسنوں x ≤ y لکھیا جا سکدا اے۔

الٹ تکون ابرابری

جیکر v اتے w دوویں بھوکھ-سمت وچ ٹائملائیک 4-ویکٹر ہون تاں نورم لئی (+ - - -) سائین (چنہ) پرمپرا وچ؛

$\left\|v+w\right\|\geq \left\|v\right\|+\left\|w\right\|.$

ہور فارمولا سوتریکرناں نال تعلق

سمتاں دی وکھری گنتی

سختی نال کہندے ہوئے, منکووسکی سپیس چار سمتاں وچ اک گنتک فارمولا سوتریکرن ول اشارہ کردی اے۔ پھیر وی, سمتاں دی کسے وی گنتی والی “منکووسکی سپیس” دے سامان اک رچنا لئی گنت نوں ودھایا جاں آسان کیتا جا سکدا اے۔ جیکر n ≥ 2 ہووے تاں n-سمتی منکووسکی سپیس n اصل سمت دی اک ویکٹر سپیس ہندی اے جس اتے سگنیچر (n − 1, 1) جاں (1, n − 1) دا اک ستھر لورنٹز میٹرک ہندا اے۔ ایہہ سرو عام کرن تھیوریاں وچ ورتے جاندے ہن جتھے سپیسٹائیم نوں 4-سمتاں توں زیادہ جاں گھٹ سمتاں والا سپیسٹائیم ہونا منیا جاندا اے۔ سٹرنگ تھیوری اتے M-تھیوری اجہیاں دو اداہرناں ہن جتھے n > 4 ہندا اے۔ سٹرنگ تھیوری وچ, کنپھورمل فیلڈ تھیوریاں 1 + 1 سپیسٹائیم سمتاں نال دسدیاں ہن ۔

پدھری بنام وکرت سپیس

اک فلیٹ سپیس دے طور تے, منکووسکی سپیسٹائیم دے تن سپیشیئل (مقامی) کمپونینٹ (حصے) ہمیشاں پائیتھاگورس تھیورم دی پالنا کردے ہن ۔ منکووسکی سپیس سپیشل رلیٹیوٹی (سپیشل ریلیٹیوٹی) لئی اک مطابق بیسس اے, گریویٹیشن اہمیت بغیر سسٹماں وچ محدود دوری اتے بھوتکی سسٹماں دا اک ونگا تذکرہ اے۔ پھیر وی, گریوٹی نوں دھیان وچ رکھن لئی, بھوتک سائنسدان جنرل رلیٹیوٹی دی تھیوری ورتدے ہن, جو غیر-اقلیدسی جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) دے گنت نال سوتربدھّ کیتی گئی اے۔ جدوں اس جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) نوں بھوتکی سپیس دے ماڈل وجوں ورتیا جاندا اے, تاں اسنوں کروڈ (وکرت) سپیس کیہا جاندا اے۔

کروڈ سپیس وچ وی, منکووسکی سپیس اجے وی کسے نقطہ (گریویٹیشنل سنگلرٹیاں توں بناں) دوآلے اک اتسوکھم کھیتر (انپھنٹیسیمل رجن) وچ اک چنگا تذکرہ اے۔ ہور مختصر کہندے ہوئے, اسیں کہندے ہاں کہ گریوٹی سپیسٹائیم دی موجودگی اک 4-سمتی وکرت مینیپھولڈ راہیں درسائی جاندی اے جسدے لئی کسے نقطہ پرتِ ٹینجینٹ (سمرد) سپیس اک چار-سمتی منکووسکی سپیس ہندی اے۔ اسطراں, منکووسکی سپیس دی بنتر اجے وی جنرل رلیٹیوٹی دے تذکرہ وچ ضروری ہو جاندی اے۔

ایہہ وی دیکھو

• جنرل رلیٹیوٹی دے گنت نال جان-پچھان
• منکووسکی پلین

حوالے

• Corry, L. (1997). "Hermann Minkowski and the postulate of relativity". Arch. Hist. Exact Sci. (Springer-Verlag) 51 (4): 273–؛314. doi:10.1007/BF00518231. ISSN 0003-9519. https://link.springer.com/article/10.1007٪2FBF00518231. 
• (2008) Mathematics of Minkowski Space, Frontiers in Mathematics. Basel: Birkhuser Verlag. doi:10.1007/978-3-7643-8614-6. ISBN 978-3-7643-8613-9. 
• Galison, P. L. (1979). in R McCormach: Minkowski's Space-Time: from visual thinking to the absolute world, Historical Studies in the Physical Sciences 10. Johns Hopkins University Press, 85–؛121. doi:10.2307/27757388. 
• (1978) An Introduction to Mechanics. London: McGraw-Hill. ISBN 0-07-035048-5. 
• (2002) The Classical Theory of Fields, 4th, Course of Theoretical Physics 2, Butterworth–؛Heinemann. ISBN 0 7506 2768 9. 
• Lee, J. M. (2003). Introduction to Smooth manifolds, Springer Graduate Texts in Mathematics 218. ISBN 0-387-95448-1. 
• Lee, J. M. (1997). Riemannian Manifolds –؛ An Introduction to Curvature, Springer Graduate Texts in Mathematics 176. New York Berlin Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6. 
• Minkowski, Hermann (1907–1908), "Die Grundgleichungen fr die elektromagnetischen Vorgnge in bewegten Krpern" [The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53–111  *Wikisource translation: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies
• Minkowski, Hermann (1908–1909), "Raum und Zeit" [Space and Time], Physikalische Zeitschrift 10: 75–88  Various English translations on Wikisource: Space and Time
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0 
• Naber, G. L. (1992). The Geometry of Minkowski Spacetime. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97848-8. 
• Nash, J. (1956). "The Imbedding Problem for Riemannian Manifolds". Annals of Mathematics 63 (1): 20–؛63. doi:10.2307/1969989. 
• Penrose, Roger (2005). "18 Minkowskian geometry", Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe. Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4. 
• Poincar, Henri (1905–1906), "Sur la dynamique de l’lectron" [On the Dynamics of the Electron], Rendiconti del Circolo matematico di Palermo 21: 129–176, doi:10.1007/BF03013466  Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron
• Sard, R. D. (1970). Relativistic Mechanics – Special Relativity and Classical Particle Dynamics. New York: W. A. Benjamin. ISBN 978-0-8053-8491-8. 
• Shaw, R. (1982). "6.6 Minkowski space, 6.7,8 Canonical forms pp 221–؛242", Linear Algebra and Group Representations. Academic Press. ISBN 0-12-639201-3. 
• Walter, Scott A. (1999). "Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity", in Goenner, Hubert (ed.): The Expanding Worlds of General Relativity. Boston: Birkhuser, 45–؛86. ISBN 0-8176-4060-6. 
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7 

باہری لنک

• Animation clip _{یوٹیوب اتے} visualizing Minkowski space in the context of special relativity.
• The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space – Time Light Cone