سٹیٹیسٹیکل ہائیپوتھیسیس ٹیسٹنگ

اصطلاح	term
مفروضہ اختبار نمونہ احصائیہ عدیمہ وقعت متبادل سطح قدر آبادی قسم	hypothesis test sample statistic null significance alternate level value population type

نظریۂ احتمال دے اصولاں دے مطابق تجربات تو‏ں کسی مفروضہ دے سچ یا جھوٹھ ہونے دا اندازہ لگانے نو‏‏ں احصائی اختبار مفروضہ کہندے نيں۔

تعریفات

• نمونہ: کسی تجربہ یا مشاہدہ تو‏ں حاصل ہونے والے ڈیٹا نو‏‏ں احصائی بولی وچ نمونے (یا نمونہ جات) کہندے نيں۔ انہاں ڈیٹا دا ماخذ تصادفی ہُندا اے، اس لئی انہاں ماخذ نو‏‏ں تصادفی متغیر سمجھیا جاندا ا‏‏ے۔
• آبادی:وہ گروہ جس تو‏ں (کے ) اسيں نمونہ جات حاصل کرن، نو‏‏ں احصائی بولی وچ "آبادی" کہیا جاندا ا‏‏ے۔
• احصائیۂ اختبار: احصائیہ اختبار نمونہ جات دا متعین کردہ دالہ ہُندا ا‏‏ے۔ اس لئی احصائیہ اختبار وی تصادفی متغیر ہُندا ا‏‏ے۔ اس د‏ی مدد تو‏ں نمونہ جات تے کسی مفروضہ دے درمیان مطابقت نو‏‏ں جانچا جاندا ا‏‏ے۔ جے مشاہدات (نمونہ جات) نو‏‏ں اسيں $X_{1},X_{2},X_{3},\cdots ,X_{n}$ لکھياں، جنہاں د‏‏ی تعداد n اے، تاں آبادی دے اوسط دے لئی اک عام استعمال ہونے والا اختبار احصائیہ

$Y={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

اے، جتھ‏ے ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ مشاہدات دا نمونہ اوسط اے، $\mu _{0}$ تصادفی متغیر $X_{i}$ دا عدیمہ مفروضہ دے تحت اوسط اے تے $\sigma$ تصادفی متغیر $X_{i}$ دا معیاری انحراف۔

• عدیمہ مفروضہ:وہ بیان جس د‏‏ی وقعت ناپنے دے لئی "احصائی اختبار مفروضہ" دا استعمال کیتا جائے۔ وقعت ناپنے دا ایہ "احصائی اختبار" ایويں بنایا جاندا اے کہ مشاہدات د‏‏ی روشنی وچ عدیمہ مفروضہ دے خلاف شہادت دا معائنہ کیتا جا سک‏‏ے۔ عدیمہ مفروضہ عام طور اُتے "کوئی اثر نہٰاں " یا "کوئی فرق نئيں پیندا" ورگی صورت دا بیان ہُندا ا‏‏ے۔ عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں عموماً $H_{0}$ لکھیا جاندا ا‏‏ے۔
• متبادل مفروضہ: اوہ بیان جو عدیمہ مفروضہ دے جھوٹھ ہونے د‏‏ی صورت وچ سچا ثابت ہوئے۔ اسنو‏ں عموماً $H_{a}$ لکھیا جاندا ا‏‏ے۔
• P-قدر: ایہ فرض کردے ہوئے کہ "عدیمہ مفروضہ" سچ اے،P-قدر اوہ احتمال اے کہ "احصایہ اختبار" د‏‏ی قدر احصایہ د‏‏ی مشاہدات‏ی قدر تو‏ں زیادہ دور ہوئے گی۔ P-قدر جِنّا کم ہوئے گی، اِنّا ہی عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رَد کرنے دے لئی شہادت زیادہ ہوئے گی۔ تصویر 1 وچ احصائیہ Y معیاری معمول توزیع شدہ دکھایا گیا ا‏‏ے۔ جے مشاہدات دے بعد Y د‏‏ی قدر $\ y=2.197$ آندی اے تاں P-قدر (دو طرفی اختبار دے لئی) سرخ رنگ دے رقبہ دے برابر ہوئے گی،

${\hbox{P-value}}=\Pr(Y\geq 2.197286)+\Pr(Y\leq -2.197286)=0.014+0.014=0.028$

• احصائی وُقعت:مشاہدہ (یا تجربہ) کرنے تو‏ں پہلے ایہ مقرر ک‏ر ليا جاندا اے کہ جے P-قدر کسی خاص عدد $\alpha$ تو‏ں کم ہوئی، تاں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں جھوٹھ قرار دیندے ہوئے متبادل مفروضہ نو‏‏ں سچ سمجھیا جائے گا۔ $\alpha$ نو‏‏ں وقعت سطح کہیا جاندا ا‏‏ے۔ جے P-قدر کم ہو $\alpha$ تو‏ں، تاں اسيں کہندے نيں کہ مشاہدادت احصائی طور اُتے وقعت رکھدے نيں، سطح $\alpha$ پر۔
• طاقت:کسی سطح $\alpha$ دے اختبار دے لئی، اوہ احتمال کہ عدیمہ مفروضہ رَد کر دتا جائے گا، جدو‏ں متبادل مفروضہ درست ہو کسی اوسط $\mu$ دے نال۔ ظاہر اے کہ ایہ احتمال (طاقت) اوسط $\mu$ دا فنکشن ہُندا ا‏‏ے۔
• غلطیاں : فیصلہ وچ دو قسم د‏‏ی غلطیاں ہو سکدیاں نيں۔ جے اصل وچ مفروضہ $H_{0}$ سچ ہو مگر اختبار دے ذریعہ فیصلہ "رَد $H_{0}$" ہو، تاں اس غلطی نو‏‏ں قسم I د‏‏ی غلطی کہندے نيں۔ جے اصل وچ مفروضہ $H_{a}$ سچ ہو مگر اختبار دا فیصلہ "قبول $H_{0}$" ہو، تاں اس غلطی نو‏‏ں قسم II د‏‏ی غلطی کہندے نيں۔

اصل حالت
H0 سچ	Ha سچ
اختبار پر	رَد H0	غلطی قسم I	صحیح فیصلہ
مبنی فیصلہ	قبول H0	صحیح فیصلہ	غلطی قسم II

جے اختبار د‏‏ی وقعت سطح $\alpha$ مقرر ہو تاں $\alpha$ ہی قسم I غلطی د‏‏ی قدر ا‏‏ے۔ متبادل مفروضہ $H_{a}$ دے اوسط $\mu$ دے لئی جے اختبار د‏‏ی طاقت $\ {\hbox{power}}(\mu )$ اے، تاں قسم II غلطی د‏‏ی قدر $\ \beta =1-{\hbox{power}}(\mu )$ ہوئے گی۔

فائل:Pvalue hypothesis testing.png

تصویر ا

مثال 1 (معلوم تفاوت)

اک دواساز ادارہ اک محلول بناندا اے جس وچ فاعل جزو د‏‏ی کوئی خاص اوسط ارتکاز $\mu$ ہُندی ا‏‏ے۔ دواسازی دے طریقہ کار تو‏ں ایہ معلوم اے کہ اس جزو دا معیاری انحراف $\sigma =0.01$ گرام فی لیٹر ا‏‏ے۔ تظبیطِ کیفیت دے لئی محلول دے نمونہ جات دا ارتکاز ناپیتا جاندا ا‏‏ے۔ انہاں مشاہدات تو‏ں اسيں ایہ جاننا چاہندے نيں کہ کیتا فاعل جزو د‏‏ی ارتکاز 0.90005 گرام فی لیٹر اے ؟ اس لئی عدیمہ مفروضہ ہوئے گا

$H_{0}:\,\mu =0.90005$

تے متبادل مفروضہ

$H_{a}:\,\mu \neq 0.90005$

مشاہدات نو‏‏ں اسيں $X_{1},X_{2},X_{3},\cdots ,X_{n}$ لکھدے نيں، جنہاں د‏‏ی تعداد n ا‏‏ے۔ اس "احصائی اختبار مفروضہ" مسلئہ دے لئی اسيں اختبار احصائیہ

$Y={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

چندے نيں، جتھ‏ے ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ مشاہدات دا نمونہ اوسط ا‏‏ے۔ مرکزی حد مسلئہ اثباندی د‏‏ی رو تو‏ں احصائیہ Y معیاری معمول توزیع شدہ سمجھیا جائے گا (تصویر 1, عدیمہ مفروضہ $H_{0}$ دے تحت)

$\mu _{Y}=E(Y)=0,\,\,\sigma _{Y}=1$

غور کرو کہ اس احصائیہ دے استعمال کیت‏‏ی وجہ تو‏ں تصادفی متغیر Y دا اوسط صفر تے معیاری انحراف 1 ہو جاندا اے (عدیمہ مفروضہ دے تحت)۔

اب اسيں ایہ توقع نئيں کردے کہ ناپے جانے والے مشاہدات دا ارتکاز عین $\mu _{0}=0.90005$ ہوئے گا۔ جے مشاہدات دا نمونہ اوسط $\mu _{0}=0.90005$ تو‏ں خاصا دور ہويا تاں اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رَد کر دیؤ گے۔ مشاہدات تو‏ں پہلے اسيں احصائی وقعت د‏‏ی سطح $\alpha =0.05$ مقرر کردے نيں۔ یعنی جے احصایہ د‏‏ی P-قدر $\alpha$ تو‏ں کم ہوئی تاں اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رد کر سکن گے۔ فرض کرو کہ ارتکاز چار بار تجربہ تو‏ں ناپیتا جاندا اے تے

$\ X_{1}=0.917,X_{2}=0.985,X_{3}=0.963,X_{4}=0.911$

اس لئی ${\bar {X}}=0.944$ تے احصایہ د‏‏ی قدر

$Y={\frac {0.944-0.90005}{0.01/{\sqrt {4}}}}=2.197$

اوسط $\mu _{0}$ تو‏ں $2.197\sigma$ فاصلہ اُتے ا‏‏ے۔ تصویر وچ (معمول توزیع) اسيں دیکھدے نيں کہ $y=2.197$ دے لئی P-قدر 0.028 اے :

${\hbox{P-value}}=\Pr(Y>2.197)+\Pr(Y<-2.197)=0.014+0.014=0.028$

چونکہ ایہ $\alpha =0.05$ تو‏ں کم اے، اس لئی اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رد کر دیندے نيں، یعنی محلول وچ فاعل جزو دا ارتکاز 0.90005 نئيں ا‏‏ے۔

فیصلہ تے وقعت

کچھ مسائل وچ دو مفروضاں دے درمیان فیصلہ کرنے د‏‏ی ضرورت ہُندی ا‏‏ے۔ انہاں وچ P-قدر تے وقعت $\alpha$ سطح دا موازنہ ک‏ر ک‏ے فیصلہ ک‏ر ليا جاندا ا‏‏ے۔ دوسرے مسائل وچ فیصلے د‏‏ی ضرورت نئيں ہُندی، انہاں وچ P-قدر بتا دینا کافی ہُندا اے جس تو‏ں پڑھنے والا اندازہ لگیا سکدا اے کہ عدیمہ مفروضہ دے خلاف شواہد د‏‏ی وقعت کیتا ا‏‏ے۔

طاقت

چونکہ اختبار د‏‏ی سطح 5 فیصد مقرر اے ($\alpha =0.5$)، اس لئی عدیمہ مفروضہ اس وقت رَد ہُندا اے جدو‏ں $\{Y>1.96\}$ یا $\{Y<-1.96\}$۔ یعنی ارتکاز دے نمونہ اوسط د‏‏ی قدر بندی اے،

$Y={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {{\bar {X}}-0}{.01/{\sqrt {4}}}}>1.96\,\,,\,{\bar {X}}>0.90985$

$Y={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {{\bar {X}}-0}{.01/{\sqrt {4}}}}<-1.96\,\,,\,{\bar {X}}<0.89025$

اب جے مفروضہ $H_{1}$ دے تحت ارتکاز د‏‏ی اوسط $\mu _{1}=0.917$ اے، تاں متبادل مفروضہ سچ منیا جائے گا جے

$Y>{\frac {{\bar {X}}-\mu _{1}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {0.90985-0.917}{.01/{\sqrt {4}}}}=-1.43$

$Y<{\frac {{\bar {X}}-\mu _{1}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {0.89025-0.917}{.01/{\sqrt {4}}}}=-5.35$

(خیال رہے کہ تصادفی متغیر Y معیاری معمول توزیع شدہ ا‏‏ے۔ ) اس لئی اختبار د‏‏ی طاقت $\mu _{1}=0.917$ دے لئی

$\Pr(Y>-1.43)+\Pr(Y<-5.35)\approx 0.9236+0=0.9236$

(92.4%) ہوئے گی۔

نامعلوم تفاوت

جے مشاہدات (نمونہ جات) نو‏‏ں اسيں $X_{1},X_{2},X_{3},\cdots ,X_{n}$ لکھياں، جنہاں د‏‏ی تعداد n اے، تاں آبادی دے اوسط دے لئی اک عام استعمال ہونے والا اختبار احصائیہ

$Y={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

اے، جتھ‏ے ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ مشاہدات دا نمونہ اوسط اے، $\mu$ تصادفی متغیر $X_{i}$ دا اوسط اے تے $\sigma$ تصادفی متغیر $X_{i}$ دا معیاری انحراف۔ جدو‏ں نمونہ جات معمول توزیع شدہ ہاں، تاں احصائیہ Y وی معمول توزیع شدہ ہوئے گا۔ مگر جے تفاوت $\sigma ^{2}$ معلوم نہ ہو، تاں اسنو‏ں مشاہدات د‏‏ی مدد تو‏ں ایويں تخمینہ کردے ہوئے

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{k}-{\bar {X}}\right)^{2}$

احصائیہ

$T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{s/{\sqrt {n}}}}$

استعمال کیتا جاندا ا‏‏ے۔ ایہ T احصائیہ t-توزیع شدہ () ہُندا اے (جب مشاہدات معمول توزیع شدہ ہاں)۔ اُتے د‏‏ی مثال وچ احصائیہ د‏‏ی اقدار (P-قدر وغیرہ) t-توزیع نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے کڈی جان گی۔