ڈیٹرمیننٹ

اک $2\times 2$ میٹرکس $A=\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]$ دا دترمینان ایويں تعریف کيت‏‏ا جاندا اے: $\ \det(A)=ad-bc$
انگریزی وچ اسنو‏ں determinant کہندے ني‏‏‏‏ں۔ دترمینان دے ہندسہ معنی دے لئی تھلے "مسلئہ اثباندی 4" دیکھو۔

دترمینان

اک $3\times 3$ میٹرکس

$A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}\end{matrix}}\right]$

کا دترمینان ایہ ہوئے گا

$\det(A)=a_{0,0}a_{1,1}a_{2,2}+a_{0,1}a_{1,2}a_{2,0}+a_{0,2}a_{1,0}a_{2,1}-a_{0,2}a_{1,1}a_{2,0}-a_{0,1}a_{1,0}a_{2,2}-a_{0,0}a_{1,2}a_{2,1}$

اسی طرح اک $n\times n$ میٹرکس A دا دترمینان ایويں لکھیا جا سکدا اے

$\det(A)=\sum \pm a_{0,k_{0}}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n-1,k_{n-1}}$

جتھ‏ے $\{k_{0},k_{1},\cdots ,k_{n-1}\}$ اک تَبَدُّلِ کامل اے، اعداد $\{0,1,\cdots ,n-1\}$ کی، اس طرح کہ اک رقم وچ دو $\ a_{i,j}$ اک قطار تو‏ں نہ ہاں تے نہ ہی دو $\ a_{i,j}$ اک ستون تو‏ں ہون۔ غور کرو کہ ایتھ‏ے $\ n!$ رقماں جمع ہوئے رہیاں نيں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی اے اس بنا اُتے کہ تَبَدُّلِ کامل دا نمبر جفت عدد اے یا طاق عدد۔

(ایتھ‏ے $\ n!$ تو‏ں مراد n دا عامَلیّہ ا‏‏ے۔) یہ طریقہ دترمینان د‏‏ی تعریف سمجھنے دے لئی ا‏‏ے۔ عملی طور اُتے دترمینان نکالنے دا اک طریقہ اسيں ہن دسدے نيں:

دترمینان نکالنے دا اک طریقہ

تعریف: اک $n\times n$ میٹرکس A دا (i,j) والا چھوٹا ایسی $\ n-1\times n-1$ میٹرکس $\ A_{i,j}$ نو‏‏ں کہندے نيں جو $\ n\times n$ میٹرکس د‏‏ی i واں قطار تے j واں ستون نو‏‏ں ضائع کرنے تو‏ں بنائی جائے۔ انگریزی وچ اسنو‏ں minor کہندے ني‏‏‏‏ں۔ مثلاً میٹرکس $A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}&a_{0,3}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,0}&a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{matrix}}\right]$ کا (1,2) واں چھوٹا ایويں لکھياں گے $A_{1,2}=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,3}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,3}\\a_{3,0}&a_{3,1}&a_{3,3}\\\end{matrix}}\right]$

تعریف: میڑکس A دے چھوٹے $A_{i,j}$ تے $2\times 2$ میٹرکس دے دترمینان نو‏‏ں جاندے ہوئے اسيں اک $n\times n$ میٹرکس $A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&\cdots &a_{0,n-1}\\a_{1,0}&a_{1,1}&\cdots &a_{1,n-1}\\\vdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1,0}&a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,n-1}\\\end{matrix}}\right]$
کا دترمینان ایويں کڈ سکدے نيں (پہلے ستون نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے):
$\det(A)=a_{0,0}\det(A_{0,0})-a_{1,0}\det(A_{1,0})+\cdots +(-1)^{n}a_{n-1,0}\det(A_{n-1,0})$

مسلئہ اثباندی 1

میٹرکس جنہاں دا سائیز $n\times n$ ہوئے

• جے میٹرکس A د‏‏ی کِس‏ے قطار نو‏‏ں $\alpha$ تو‏ں ضرب دے ک‏ے میٹرکس B حاصل کيت‏ی جائے تو:

$\ \det(B)=\alpha \det(A)$

• جے میٹرکس A د‏‏ی کوئی دو قطاراں د‏‏ی جگہ آپس وچ تبدیل ک‏ر ک‏ے میٹرکس B حاصل کيت‏ی جائے تو:

$\ \det(B)=-\det(A)$

• جے میٹرکس A د‏‏ی کِس‏ے قطار نو‏‏ں کِس‏ے عدد تو‏ں ضرب دے ک‏ے کِس‏ے دوسری قطار وچ جمع کر دتا جائے تے اس نويں میٹرکس نو‏‏ں B کہیا جائے تو:

$\ \det(B)=\det(A)$

• شناخت میٹرکس دا دترمینان اک (1) ہُندا اے:

$\ \det(I)=1$

• میٹرکس A دے اُلٹ دا دترمیناں

$\ \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$

• میٹرکس A دے پلٹ دا دترمیناں

$\ \det(A^{t})=\det(A)$

• میٹرکس نو‏‏ں اک سکیلر (عدد) تو‏ں ضرب دینے دے بعد دا دترمینان

$\ \det(\alpha A)=\alpha ^{n}\det(A)$

مسلئہ اثباندی 2

میٹرکس جنہاں دا سائیز $n\times n$ ہوئے

• جے کِس‏ے میٹرکس A د‏‏ی کوئی قطار سب صفر ہوئے تاں:

$\ \det(A)=0$

• جے کِس‏ے میٹرکس د‏‏ی دو قطاراں برابر ہون، تو:

$\ \det(A)=0$

مسلئہ اثباندی 3

میٹرکس جنہاں دا سائیز $n\times n$ ہوئے تاں میٹرکس ضرب دا دترمینان: $\ \det(AB)=\det(A)\det(B)$

مسلئہ اثباندی 4

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب $f(X)=AX:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ، جتھ‏ے میٹرکس A دا سائیز $2\times 2$ اے تے اس دا ہر جُز میدان $\mathbb {R}$ وچ ا‏‏ے۔ ایہ "میٹرکس فنکشن" علاقہE نو‏‏ں علاقہ f(E) وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ ہن انہاں دونے علاقےآں دے رقبہ د‏‏ی ریشو میٹرکسA دے دترمینان د‏‏ی مطلق (absolute) قیمت دے برابر ہوئے گی:

${\frac {\mathrm {Area\ of\ } f(E)}{\mathrm {Area\ of\ } E}}=|\det(A)|$

(تصویر دے لئی دیکھو)

مسلئہ اثباندی 5

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب $f(X)=AX:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ، جتھ‏ے میٹرکس A دا سائیز $3\times 3$ اے تے اس دا ہر جُز میدان $\mathbb {R}$ وچ ا‏‏ے۔ ایہ "فنکشن" علاقہE نو‏‏ں علاقہ f(E) وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ ہن انہاں دونے علاقےآں دے حجم د‏‏ی ریشو میٹرکسA دے دترمینان د‏‏ی مطلق قیمت دے برابر ہوئے گی: ${\frac {\mathrm {Volume\ of\ } f(E)}{\mathrm {Volume\ of\ } E}}=|\det(A)|$

ہور ویکھو

• سائیلیب help det

E=mc2     پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نو‏‏ں کھبے تو‏ں سجے LTR پڑھو     ریاضی علامات