بےز مسئلہ اثباتی

اصطلاح	term
بیز مسلئہ اثباندی	Bayes' theorem

جے واقعات $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ کِس‏ے نمونہ فضا S دا بٹوارا ہون، یعنی

فائل:Partition of sample space.png

تصویر 1

$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}=S$

تے اس دے علاوہ ایہ باہمی ناشمول واقعات وی ہون، یعنی

$A_{i}\cap A_{j}\cap =\Phi \,,\,i,j\in \{1,2,\cdots ,n\}$

تے $\Pr(A_{i})>0$، تو کِس‏ے واقعہ B دے لئی (جے $\Pr(B)>0$)، بٹوارے دے کِس‏ے "واقعہ $\ A_{i}$ دا احتمال جدو‏ں کہ واقعہ B" نو‏‏ں ایويں لکھیا جا سکدا اے:

$\Pr(A_{i}|B)={\frac {\Pr(A_{i}\cap B)}{\Pr(B)}}={\frac {\Pr(B|A_{i})\Pr(A_{i})}{\sum _{k=1}^{n}\Pr(B|A_{k})\Pr(A_{k})}}$

جتھ‏ے اساں کُل احتمال دے قانون دا استعمال کيت‏‏ا ا‏‏ے۔

مثال

فرض کرو کہ کِس‏ے بیماری د‏‏ی تشخیص دے لئی اک اختبار دستیاب اے، مگر بیماری (disease) موجود ہونے د‏‏ی صورت وچ ایہ اختبار 99 فیصد وقوع وچ صحیح مثبت (positive) نتیجہ دیندا اے، یعنی مشروط احتمال

$\ \Pr({\hbox{positve}}|{\hbox{disease}})=0.99\,,\Pr({\hbox{negative}}|{\hbox{disease}})=0.01$

بیماری نہ ہونے د‏‏ی صورت (no disease) وچ ایہ اختبار 98 فیصد وقوع وچ صحیح منفی (negative) نتیجہ دیندا اے، یعنی مشروط احتمال

$\ \Pr({\hbox{positve}}|{\hbox{no disease}})=0.02\,,\Pr({\hbox{negative}}|{\hbox{no disease}})=0.98$

آبادی وچ اس بیماری دا تناسب ہزار وچ اک اے، یعنی بنفسیہ احتمال

$\ \Pr({\hbox{no disease}})=0.999\,,\Pr({\hbox{disease}})=0.001$

اب اسيں جاننا چاہندے نيں کہ جے کِس‏ے شخص دا اختبار دا نتیجہ مثبت نکلدا اے، تاں اس دا کیہ احتمال اے کہ اس شخص نو‏‏ں واقعی ایہ بیماری اے، یعنی اسيں $\ \Pr({\hbox{disease}}|{\hbox{positive}})$ جاننا چاہندے ني‏‏‏‏ں۔ ہن بے ز قاعدہ دا استعمال کردے ہوئے

$\Pr({\hbox{disease}}|{\hbox{positive}})={\frac {\Pr({\hbox{positive}}|{\hbox{disease}})\Pr({\hbox{disease}})}{\Pr({\hbox{positive}}|{\hbox{disease}})\Pr({\hbox{disease}})+\Pr({\hbox{positive}}|{\hbox{no disease}})\Pr({\hbox{no disease}})}}$

اقدار ڈالدے ہوئے

$\Pr({\hbox{disease}}|{\hbox{positive}})={\frac {0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001+0.02\times 0.999}}=0.047$

یعنی اختبار دا نتیجہ مثبت ملنے اُتے واقعی بیماری ہونے دا احتمال صرف 4.7 فیصد ا‏‏ے۔ جے آپ دے لئی اس مثال دا نتیجہ حیران کن اے تاں غور کرن ایہ بنفسیہ احتمال $\ \Pr({\hbox{disease}})=0.001$ دا اثر ا‏‏ے۔

اس مثال تو‏ں ایہ بھر پور طریقہ تو‏ں واضح ہويا کہ $\Pr({\hbox{disease}}|{\hbox{positive}})\neq \Pr({\hbox{positive}}|{\hbox{disease}})$

بے ز قاعدہ د‏‏ی مختلف شکل

اصطلاح	term
مفروضہ  ? امکاناندی تناسب بنفسیہ بمثلیہ	Hypothesis odds Likelihood ratio a priori posteriori

اُتے دتے بے ز قاعدہ نو‏‏ں مختلف شکل وچ لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ جے اک واقعہ M اے تے اس دا متمم ${\bar {M}}$، تاں انہاں دے احتمال دا تناسب

${\frac {\Pr(M)}{\Pr({\bar {M}})}}$

اس مفروضہ (واقعہ) M دے odds نو‏‏ں ظاہر کردا ا‏‏ے۔ واضح رہے کہ:

$\Pr({\bar {M}})=1-\Pr(M)$

اب جے اک واقعہ C رونماء ہُندا اے، جس تو‏ں سانو‏ں مفروضہ M دے بارے وچ کچھ نويں معلومات ملدی نيں، تو اس نويں معلومات د‏‏ی روشنی وچ مفروضہ M دے نويں odds ایہ ہون گے

${\frac {\Pr(M|C)}{\Pr({\bar {M}}|C)}}={\frac {\Pr(M)}{\Pr({\bar {M}})}}{\frac {\Pr(C|M)}{\Pr(C|{\bar {M}})}}$

جتھ‏ے ${\frac {\Pr(C|M)}{\Pr(C|{\bar {M}})}}$ کو امکاناندی تناسب کہیا جاندا ا‏‏ے۔ نظریہ احتمال و احصاء د‏‏ی بولی وچ مفروضہ دے اصلی odds نو‏‏ں بنفیسہ odds کہیا جاندا اے تے نويں odds نو‏‏ں بمثلیہ odds کہندے ني‏‏‏‏ں۔ یعنی بے ز قاعدہ د‏‏ی مختلف شکل ایويں اے:

(بمثلیہ odds ) = (بنفیسہ odds) $\times$ (امکاناندی تناسب)

اُتے د‏‏ی بے ز مساوات دے numerator تے denominator وچ بے ز قاعدہ دے استعمال تو‏ں اس مساوات د‏‏ی تصدیق ہُندی اے، مثلاً numerator دے لئی

$\Pr(M|C)={\frac {\Pr(M\cap C)}{\Pr(C)}}={\frac {\Pr(C|M)\Pr(M)}{\Pr(C)}}$

مثال

فرض کرو کہ اک شخص پولیس مقابلے وچ ہلاک ہوئے گیا ا‏‏ے۔ مفروضہ ایہ اے کہ ایہ شخص ڈاکو سی۔

M=مفروضہ (ڈاکو تھا)

${\bar {M}}$= نفی مفروضہ (ڈاکو نئيں تھا)

فرض کرو کہ پولیس مقابلے وچ مرنے والےآں دے ڈاکو ہونے تے نہ ہونے دا تناسب 5 اے، یعنی

${\frac {\Pr(M)}{\Pr({\bar {M}})}}=5\,,\,\Pr(M)={\frac {5}{6}}$

اب نواں ثبوت سامنے آندا اے کہ مرنے والا مسلح نئيں سی۔

C=مسلح نئيں تھا

فرض کرو کہ غیر مسلح شخص دے ڈاکو ہونے تے ڈاکو نہ ہونے دا تناسب 1/8 اے، یعنی ${\frac {\Pr(C|M)}{\Pr(C|{\bar {M}})}}={\frac {1}{8}}$

اس ثبوت د‏‏ی روشنی وچ مرنے والے دے ڈاکو ہونے دے بمثلیہ odds ہون گے

${\frac {\Pr(M|C)}{\Pr({\bar {M}}|C)}}={\frac {5}{1}}\times {\frac {1}{8}}={\frac {5}{8}}$

جس تو‏ں مرنے والے دے ڈاکو ہونے دا احتمال بندا اے

${\frac {\Pr(M|C)}{1-\Pr(M|C)}}={\frac {5}{8}}\,,\,\Pr(M|C)={\frac {5}{13}}$

یاد کرو کہ اس نويں ثبوت دے مہیا ہونے تو‏ں پہلے مرنے والے دے ڈاکو ہونے دا احتمال ${\frac {5}{6}}$ سی (83 فیصد)، جو ہن کم ہوئے ک‏ے ${\frac {5}{13}}$ رہ گیا اے (38 فیصد)۔

ہور ویکھو

• مشروط احتمال
• کُل احتمال دا قانون

E=mc2     پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نو‏‏ں کھبے تو‏ں سجے LTR پڑھو     ریاضی علامات